Определяющее понятие математики – число, которое используется для количественной характеристики объектов. Наука оперирует их несколькими видами. Осознание особенностей этого понятия поможет избежать ошибок, приблизит открытие новых горизонтов познания точной науки.
Считать человек научился тогда, когда научился говорить. Первоначально это было определение количества предметов, товара. При появлении письменности придумали специальные значки – цифры. В этой стать речь пойдёт о натуральных и целых числах, как самых простых.
Натуральные числа
На заре цивилизации первобытные люди обходились понятиями «один» и «много». Древние охотники не утруждали себя подсчётами. При возникновении товарообменных отношений назрела потребность усложнить счёт.
Во время торговли приходилось считать количество товара. Тогда появились самые простые числа. Их называют натуральными, так как возникли естественным образом при счёте. Ими описывают количество предметов или порядковый номер ряда подобных объектов. Для письменного отображения этих величин используют специальные знаки, которые называют цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Пример записи: двести тридцать один – 231.
Самая маленькая величина – единица (1), самой большой нет. Если возьмём самое большое, на наш взгляд, значение, к нему всегда можно добавить ещё 1, получить большее, и так до бесконечности.
При их расположении последовательно в порядке возрастания получаем числовой ряд. Каждый следующий элемент ряда увеличивается на 1 по отношению к предыдущему. Этот массив элементов обозначают N={1, 2, 3, …n, …}. Сюда не входит ноль, он применяется только для описания многозначных величин.
Если выражение содержит только один значок, то оно называется однозначным. Например: 1, 3, 7. Если запись имеет больше одной цифры, то она многозначная. К примеру, числа: 15, 23, 78 – двузначные, 125, 561, 938 – трёхзначные, 2589, 1596, 3564 – четырёхзначные. Математика использует десятичную систему исчисления. При записи каждому значку соответствует своё определённое значение в зависимости от расположения. Например, 286:
- Последняя шесть означает 6 единиц.
- Предпоследняя восемь – 8десятков.
- Первая двойка – 2 сотни.
В этой записи две сотни, восемь десятков и шесть единиц.
Целые числа
У этого понятия определение шире. Сюда входят элементы, описанные выше, а также противоположные по значению и 0. В итоге, имеем бесконечное количество натуральных (1, 2, 3, 4, …) и столько же противоположных значений.
Совокупность их с нолём называется целыми.Они бывают положительными и отрицательными. Первые подразумевают знак плюс (обычно не пишется). Примеры таких записей: 8, 15, 127, 3259.
Отрицательные целые имеют знак минус (всегда пишется): −9, −21, −832, −4785. Они появились при развитии товарообменных отношений. Так было удобно считать долги. Например, торговцу заплатили за мешок вяленой рыбы одну шкурку лисы, а надо было три, то долг составит ещё две шкурки: 1− 3 = −2.
Ноль стоит обособленно. Он не принадлежит ни к тем, ни к другим. Все что больше него – положительные, меньше – отрицательные. Множество этих элементов обозначают Z={… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. С ними выполняют основные математические действия, нельзя только делить на ноль. Этими значениями принято описывать количественное изменение предметов или физических явлений во времени.
Общие черты понятий
- Оба выполняют количественную характеристику предметов или каких-то параметров.
- Натуральные значения входят во множество целых, то есть любое из них будет целым.
- Математические действия кроме деления и извлечения корня с обоими видами даёт целое.
- Самого большого числа для них нет – исчезает в бесконечности.
Отличия чисел
Наряду с общими признаками у этих понятий есть различия в написании, значениях и функциях.
Натуральные всегда больше ноля, целые – положительные, отрицательные и 0, поэтому не каждое целое будет натуральным.
У первых самое маленькое значение единица, у вторых его нет, оно бесконечно малое. Какую бы маленькую величину мы не придумали, от неё всегда можно отнять единицу и получить ещё меньшую и так бесконечно много раз.
Целыми легче описывать изменение количества, чем натуральными. При этом нет необходимости конкретно указывать увеличение или уменьшение численности. Само число характеризует эту перемену, а знак перед ним указывает направление. Вот примеры такого описания. Пусть в библиотеке есть некоторое количество книг. Если туда привезут еще восемьдесят, то их станет больше, а 80 выражает это изменение перечня в сторону повышения. Если же из библиотеки заберут тридцать книг, то их станет меньше, а 30 будет выражать перемену в сторону снижения. В библиотеку не будут привозить и увозить издания, то говорят о неизменности наличия литературы, то есть произошла нулевая перемена.
Этот пример показывает преобразование объёма книг с помощью целых чисел 80, −30 и 0 соответственно. Положительное 80 передаёт рост численности, отрицательное −30 выражает её понижение (отрицательная величина). Ноль показывает, что сумма предметов осталось без изменения.
Целыми хорошо описывается варьирование физических величин. При увеличении температуры на 3 градуса, это указывается значением 3. Уменьшение температуры на 10 градусов записывается как число с минусом: −10. А постоянство температуры определяется нолём.
Не каждый из нас математик, но понимание основ этой науки сыграет позитивную роль для каждого. Элементарные математические знания не раз выручат в трудной ситуации.
